Fraktaler: Julia og Mandelbrot??

[Anders]

Er der nogle der har forstand på fraktaler?

Så vidt jeg kan se kan man plotte iterationsfunktionen (f(z)=z^2+c) i den
komplekse plan både ud fra Julia og Mandelbrot?? Men hvad er forskellen på
Julia og Mandelbrot, eftersom udseendet af de to fraktaler komme til at se
forkellig ud når de bruger samme iterationsformel?? Tag jer ikke af hvis jeg
er helt glat på den??

Er der evt. nogle der har noget gratis litteratur eller indformation om
emnet?

tak :)

[Peter Makholm]

Post by Anders
Så vidt jeg kan se kan man plotte iterationsfunktionen (f(z)=z^2+c) i den
komplekse plan både ud fra Julia og Mandelbrot??

I Mandelbrots mængde er c = z_0, altså det punkt man itererer ud fra
mens i Juliamængderne tegner man hele fraktalen med et konstant c.

[Henning Makholm]

Post by Peter Makholm
I Mandelbrots mængde er c = z_0,

Så så. Husk nu Knuth.

[Henning Makholm]

Post by Anders
Så vidt jeg kan se kan man plotte iterationsfunktionen (f(z)=z^2+c) i den
komplekse plan både ud fra Julia og Mandelbrot?? Men hvad er forskellen på
Julia og Mandelbrot, eftersom udseendet af de to fraktaler komme til at se
forkellig ud når de bruger samme iterationsformel??

Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
af iterationen for forskellige c.

Juliamængder fremkommer ved at vælge et c og holde det konstant, og
plotte resultatet af iterationen for forskellige z0.

Der er altså "i virkeligheden" tale om snit på forskellige leder
gennem en underliggende firedimensionel [1] fraktal.

[1] I den naive betydning: indlejret i R^4 \eqsim C². Jeg er ikke
sikker på hvad den fraktale dimension af selve overfladen er.

[Mathness]

Post by Henning Makholm
Der er altså "i virkeligheden" tale om snit på forskellige leder
gennem en underliggende firedimensionel [1] fraktal.
[1] I den naive betydning: indlejret i R^4 \eqsim C². Jeg er ikke
sikker på hvad den fraktale dimension af selve overfladen er.

Der kan beregnes nogle vældig flotte sky agtige Mandelbrot/Julia
formationer, ved brug af quaternions. Ved at bruge en af de fire
dimensioner som tid, kan man få nogle fantastisk animationer :)

[Henning Makholm]

Post by Mathness
Der kan beregnes nogle vældig flotte sky agtige Mandelbrot/Julia
formationer, ved brug af quaternions.

Hm, jeg tvivler. Eftersom iterationsformlen kun anvender kvadrering og
ikke multiplikation i almindelighed, vil en Mandelbrot-iteration (fra
z0=0) altid foregå i planen udspændt af 1 og c, og vil være isomorf
med den almindelige komplekse iteration.

For Julia-mængder kan man måske nok nå op på tre dimensioner, men den
fjerde tilføjer ikke nogen ny struktur.

Hvis vi sætter c=a+bi og z0=p+qi+rj, vil der aldrig opstå nogen
k-komponent i iterationen. z0 vil derfor opføre sig lige som
p+qi+rk, eller i almindelighed som p+qi+sj+tk hvor s²+t²=r².

[Jeppe Stig Nielsen]

Post by Henning Makholm

Post by Mathness
Der kan beregnes nogle vældig flotte sky agtige Mandelbrot/Julia
formationer, ved brug af quaternions.

Hm, jeg tvivler.

Måske vil Thomas/Mathness ikke bruge kvaternionerne til selv itera-
tionen, men blot til at udregne hvordan rotationen af billedet skal
laves?

Hvis man kigger på (c,z0)-rummet C^2=R^4, må man i hvert fald kunne
lave nogle rumlige animationer ud fra den sædvanlige komplekse iteration
ved at lave tredimensionale »skrå« snit i dette R^4.

[Henning Makholm]

Post by Jeppe Stig Nielsen

Post by Henning Makholm

Post by Mathness
Der kan beregnes nogle vældig flotte sky agtige Mandelbrot/Julia
formationer, ved brug af quaternions.

Hm, jeg tvivler.

Måske vil Thomas/Mathness ikke bruge kvaternionerne til selv itera-
tionen, men blot til at udregne hvordan rotationen af billedet skal
laves?

Det er selvfølgelig muligt, men det er da længe siden man brugte
kvaternioner i stedet for matricer til den slags, er det ikke?

[Mathness]

Post by Henning Makholm
Det er selvfølgelig muligt, men det er da længe siden man brugte
kvaternioner i stedet for matricer til den slags, er det ikke?

Joh, det er bare sådan jeg lærte det i tidernes morgen, og da jeg
stadig bruger det meste af koden fra den gang har jeg ikke tænkt så
meget over det. Noget med gamle hunde og nye tricks ;)

[Henning Makholm]

Post by Henning Makholm

Post by Jeppe Stig Nielsen
Måske vil Thomas/Mathness ikke bruge kvaternionerne til selv itera-
tionen, men blot til at udregne hvordan rotationen af billedet skal
laves?

Det er selvfølgelig muligt, men det er da længe siden man brugte
kvaternioner i stedet for matricer til den slags, er det ikke?

Ved nøjere efterforskning med google viser det sig at den
multiplikative gruppe af enhedskvaternioner er naturligt isomorf med
SO_3(R). Den slags ved folk der koder grafikting til dagligt vel på
rygmarven, men det indgik ikke i min paratviden. Eftersom det
tydeligvis er meget lettere at regne med kvaternioner med 4 elementer
end med rotationsmatricer med 9 elementer, trækker jeg hermed min
påstand om at kvaternioner skulle være forældede, tilbage.

[Jens Axel Søgaard]

Post by Henning Makholm
Ved nøjere efterforskning med google viser det sig at den
multiplikative gruppe af enhedskvaternioner er naturligt isomorf med
SO_3(R). Den slags ved folk der koder grafikting til dagligt vel på
rygmarven, men det indgik ikke i min paratviden. Eftersom det
tydeligvis er meget lettere at regne med kvaternioner med 4 elementer
end med rotationsmatricer med 9 elementer, trækker jeg hermed min
påstand om at kvaternioner skulle være forældede, tilbage.

Interessant. Det kunne de nu godt nævne i algebra :-)


Henry Baker har for resten skrevet om anvendelsen af Gaussiske heltal
i forbindelse med to-dimensional grafik:

<http://home.pipeline.com/~hbaker1/Gaussian.html>

[Jens Axel Søgaard]

Post by Jens Axel Søgaard
Interessant. Det kunne de nu godt nævne i algebra :-)

Altså, at kvarternioner kan bruges i forbindelse med
grafikprogrammering.

[Henning Makholm]

Post by Henning Makholm
Ved nøjere efterforskning med google viser det sig at den
multiplikative gruppe af enhedskvaternioner er naturligt isomorf med
SO_3(R).

Ved endnu nøjere efterforskning viser det sig at det er løgn. Gruppen
af enhedskvaternioner er naturligt isomorf med SU_2, som overdækker
SO_3(R) dobbelt. En kvaternion og dens negation beskriver dermed samme
rotation.

Denne isomorfi er så til gengæld også ekstremt naturlig:

a+bi+cj+dk --> (a+bi c+di)
(-c+di a-bi)

som er en injektiv ringhomomorfi fra hele kvaternionskævlegemet til GL_2(C).

[Kai Birger Nielsen]

Post by Henning Makholm
Ved nøjere efterforskning med google viser det sig at den
multiplikative gruppe af enhedskvaternioner er naturligt isomorf med
SO_3(R). Den slags ved folk der koder grafikting til dagligt vel på
rygmarven, men det indgik ikke i min paratviden. Eftersom det
tydeligvis er meget lettere at regne med kvaternioner med 4 elementer
end med rotationsmatricer med 9 elementer, trækker jeg hermed min
påstand om at kvaternioner skulle være forældede, tilbage.
--
Henning Makholm "The compile-time type checker for this
language has proved to be a valuable filter which
traps a significant proportion of programming errors."

Ah, det var derfor Hamilton pludseligt holdt op med at rotere :-)

mvh Birger Nielsen (***@daimi.au.dk)

[Carsten Svaneborg]

Post by Henning Makholm
Den slags ved folk der koder grafikting til dagligt vel på
rygmarven, men det indgik ikke i min paratviden.

Herbert Goldstein's Classical mechanics har vist et kapittel
om det i diskussionen om rotationer og intertimomenter.

[Henning Makholm]

Post by Carsten Svaneborg

Post by Henning Makholm
Den slags ved folk der koder grafikting til dagligt vel på
rygmarven, men det indgik ikke i min paratviden.

Herbert Goldstein's Classical mechanics har vist et kapittel
om det i diskussionen om rotationer og intertimomenter.

Jo, men nu er jeg jo heller ikke mekaniker, blot en stakkels datalog
med lidt matematik gemt af vejen et eller andet sted.

[Mathness]

Post by Mathness
Der kan beregnes nogle vældig flotte sky agtige Mandelbrot/Julia
formationer, ved brug af quaternions. Ved at bruge en af de fire
dimensioner som tid, kan man få nogle fantastisk animationer :)

Ah, tror ikke jeg fik fortalt det helt rigtigt. I stedet for at bruge
komplekse tal, bruges quaternions. Hvis man ikke selv lige vil rode med
et program til at beregn og vise dem, kan Povray anbefales (
http://www.povray.org/ ). Fractint har selvfølgelig også det indbygget
;p

Povray eksempler kan f.eks ses her;
http://www.3d-gfx.com/fractals/quats.html

[Henning Makholm]

Post by Mathness

Post by Mathness
Der kan beregnes nogle vældig flotte sky agtige Mandelbrot/Julia
formationer, ved brug af quaternions.

Ah, tror ikke jeg fik fortalt det helt rigtigt. I stedet for at bruge
komplekse tal, bruges quaternions.
Povray eksempler kan f.eks ses her;
http://www.3d-gfx.com/fractals/quats.html

Det fremgår ikke rigtig hvordan de figurer fremkommer. Er det
juliamængder? Det synes jeg de ser for glatte ud til.

[Mathness]

Post by Henning Makholm
Det fremgår ikke rigtig hvordan de figurer fremkommer. Er det
juliamængder? Det synes jeg de ser for glatte ud til.

De fleste jeg har set fremkommer ved at lade figurene være resultatet
af en fastlagt iterationsværdi, f.eks. 20. Derved er billederne ikke
af Mandelbrot/Julia mængden, men derimod af det farvet område man ser
på "almindelige" komplekse (2D) udgaver (det sorte område er oftes
mængden).

[Jeppe Stig Nielsen]

Post by Henning Makholm
Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
af iterationen for forskellige c.
Juliamængder fremkommer ved at vælge et c og holde det konstant, og
plotte resultatet af iterationen for forskellige z0.
Der er altså "i virkeligheden" tale om snit på forskellige leder
gennem en underliggende firedimensionel [1] fraktal.

Ja. Mandelbrot mængden kan siges at gengive c-planen, mens Julia-mængden
er en slags z0-plan (eller et affint rum parallelt med z0-planen c=0).

Hvad sker der hvis man laver snit af typen z0=konstant, altså »Mandel-
brotmængder« der ligger parallelt med den rigtige Mandelbrotmængde?

[Henning Makholm]

Post by Jeppe Stig Nielsen
Hvad sker der hvis man laver snit af typen z0=konstant, altså »Mandel-
brotmængder« der ligger parallelt med den rigtige Mandelbrotmængde?

Da jeg engang i min vilde ungdom (ca 1990) legede med Fractint, kunne
den lave sådan nogen under betegnelsen "warped Mandelbrot sets" eller
noget i den retning. Så vidt jeg husker havde dem jeg prøvede en
lignende som den almindelig mandelbrotmængde, men havde mere uskønne
proportioner, og hang ikke altid sammen over det hele.

[Torben Ægidius Mogensen]

Post by Henning Makholm

Post by Anders
Så vidt jeg kan se kan man plotte iterationsfunktionen (f(z)=z^2+c) i den
komplekse plan både ud fra Julia og Mandelbrot?? Men hvad er forskellen på
Julia og Mandelbrot, eftersom udseendet af de to fraktaler komme til at se
forkellig ud når de bruger samme iterationsformel??

Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
af iterationen for forskellige c.

Hvor resultatet er antallet af iterationer før |z| > 2. Da det kan
være uendeligt, sættes i reglen en grænse for antallet af iterationer.

Post by Henning Makholm
Juliamængder fremkommer ved at vælge et c og holde det konstant, og
plotte resultatet af iterationen for forskellige z0.

Næsten rigtigt. Juliamængden for et givet c er _randen_ af den mængde
af z'er, der ved iteration af z := z^2+c ikke divergerer. Den tegnes
normalt ved at invertere formlen, dvs. z := sqrt(z-c), hvor man
starter med et vilkårligt z_0, som ikke ligger på den reelle akse. De
første iterationer skal bruges på at komme ind til mængden, så de
smides væk. Der er to løsninger til sqrt(z-c). I reglen vælges bare
en vilkårlig af disse.

Torben

[Kai Birger Nielsen]

Post by Torben Ægidius Mogensen

Post by Henning Makholm

Post by Anders
Så vidt jeg kan se kan man plotte iterationsfunktionen (f(z)=z^2+c) i den
komplekse plan både ud fra Julia og Mandelbrot?? Men hvad er forskellen på
Julia og Mandelbrot, eftersom udseendet af de to fraktaler komme til at se
forkellig ud når de bruger samme iterationsformel??

Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
af iterationen for forskellige c.

Hvor resultatet er antallet af iterationer før |z| > 2. Da det kan
være uendeligt, sættes i reglen en grænse for antallet af iterationer.

Post by Henning Makholm
Juliamængder fremkommer ved at vælge et c og holde det konstant, og
plotte resultatet af iterationen for forskellige z0.

Næsten rigtigt. Juliamængden for et givet c er _randen_ af den mængde
af z'er, der ved iteration af z := z^2+c ikke divergerer. Den tegnes
normalt ved at invertere formlen, dvs. z := sqrt(z-c), hvor man
starter med et vilkårligt z_0, som ikke ligger på den reelle akse. De
første iterationer skal bruges på at komme ind til mængden, så de
smides væk. Der er to løsninger til sqrt(z-c). I reglen vælges bare
en vilkårlig af disse.
Torben

Ja og der er nogle juliamængder, der er svære at få tegnet pænt på den
måde, så der er forskellige varianter over temaet.

Her er nogle eksempler på pæne mængder:
http://www.246.dk/julia.html

mvh Birger Nielsen (***@daimi.au.dk)

[Jeppe Stig Nielsen]

Post by Kai Birger Nielsen
http://www.246.dk/julia.html

Skulle du ikke skifte domænenavn til 276.dk, jf. den anden deltråd om
»alikvotfølger«?

[Kai Birger Nielsen]

Post by Jeppe Stig Nielsen

Post by Kai Birger Nielsen
http://www.246.dk/julia.html

Skulle du ikke skifte domænenavn til 276.dk, jf. den anden deltråd om
»alikvotfølger«?
--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

Enten er det meget fredag eller også var den lige en tand for
indforstået. Jeg forstod i alt fald ikke hvad du mente.
De 246 hentyder til den præst, der står i min indkørsel og
er dobbelt så godt som 123 som sikkert er taget :-)

mvh Birger Nielsen (***@daimi.au.dk)

[Jeppe Stig Nielsen]

Post by Kai Birger Nielsen

Post by Jeppe Stig Nielsen

Post by Kai Birger Nielsen
http://www.246.dk/julia.html

Skulle du ikke skifte domænenavn til 276.dk, jf. den anden deltråd om
»alikvotfølger«?

Enten er det meget fredag eller også var den lige en tand for
indforstået. Jeg forstod i alt fald ikke hvad du mente.

Det var noget jeg skrev om et andet sted i tråden. Hvis for et helt tal
n>1 vi lader f(n) betegne summen af divisorer i n (hvor 1 medregnes som
divisor, med n selv *ikke* medregnes), så er det interessant at betragte
iterationen

n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...

Startværdien n=276 er den første for hvilken man ikke véd om følgen går
mod uendelig. De andre muligheder er at den bliver endelig (fordi man
på et tidspunkt rammer et primtal), samt at den bliver periodisk.

Man kan kalde f for »alikvot-funktionen«.
Der er mere info her:
http://home.t-online.de/home/Wolfgang.Creyaufmueller/aliquote.htm

[Henrik Christian Grove]

Post by Torben Ægidius Mogensen

Post by Henning Makholm
Juliamængder fremkommer ved at vælge et c og holde det konstant, og
plotte resultatet af iterationen for forskellige z0.

Næsten rigtigt. Juliamængden for et givet c er _randen_ af den mængde
af z'er, der ved iteration af z := z^2+c ikke divergerer.

Du beder selv om det!

Post by Torben Ægidius Mogensen

Post by Henning Makholm
Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
af iterationen for forskellige c.

Hvor resultatet er antallet af iterationer før |z| > 2. Da det kan
være uendeligt, sættes i reglen en grænse for antallet af iterationer.

Det er bare de billeder man sædvanligvis laver. Strengt matematisk er
Mandelbrotmængden randen af den mængde af c'er for hvilke Juliamængden
for det tilsvarende c er sammenhængende.

.Henrik

[Jeppe Stig Nielsen]

Post by Henrik Christian Grove

Post by Torben Ægidius Mogensen

Post by Henning Makholm
Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
af iterationen for forskellige c.

Hvor resultatet er antallet af iterationer før |z| > 2. Da det kan
være uendeligt, sættes i reglen en grænse for antallet af iterationer.

Det er bare de billeder man sædvanligvis laver. Strengt matematisk er
Mandelbrotmængden randen af den mængde af c'er for hvilke Juliamængden
for det tilsvarende c er sammenhængende.

Men er det ikke ækvivalent med at den nævnte iterationsfølge er be-
grænset (og faktisk holder sig inden for cirklen med radius 2)?

Naturligvis kan man ikke *bevise* at en følge er begrænset ved kun at
beregne de første n elementer i den.

[Henning Makholm]

Post by Jeppe Stig Nielsen
Naturligvis kan man ikke *bevise* at en følge er begrænset ved kun at
beregne de første n elementer i den.

Jo, hvis beregningen kun afhænger af det foregående element (og altså
ikke positionen i følgen) og man er heldig nok til at ramme en eksakt
cykel. :-)

[Jeppe Stig Nielsen]

Post by Henning Makholm

Post by Jeppe Stig Nielsen
Naturligvis kan man ikke *bevise* at en følge er begrænset ved kun at
beregne de første n elementer i den.

Jo, hvis beregningen kun afhænger af det foregående element (og altså
ikke positionen i følgen) og man er heldig nok til at ramme en eksakt
cykel. :-)

Helt sikkert. Men i det aktuelle tilfælde, Mandelbrotmængder, foretager
computeren bestemt afrundinger, og en cykel kan derfor være »falsk«.

Men når man laver følger af hele tal, har du helt klart ret.

Et interessant eksempel: Lad f: N\{1} -> N være funktionen der er
fastlagt ved at f(n) er summen af alle divisorer i n undtagen n selv.

Så er et tal P fuldkomment, netop hvis f(P)=P, et fikspunkt.

Det er interessant at start med et tal n, og se om iterationsfølgen

n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...

er endelig eller uendelig. Hvis den er uendelig, kan den være periodisk,
men man har ikke vished for om den kan være uendelig uden at være peri-
odisk.

Det er klart at følgen går mod plus uendelig hvis den ikke er periodisk
eller endelig.

[Torben Ægidius Mogensen]

Post by Jeppe Stig Nielsen

Post by Henning Makholm

Post by Jeppe Stig Nielsen
Naturligvis kan man ikke *bevise* at en følge er begrænset ved kun at
beregne de første n elementer i den.

Jo, hvis beregningen kun afhænger af det foregående element (og altså
ikke positionen i følgen) og man er heldig nok til at ramme en eksakt
cykel. :-)

Helt sikkert. Men i det aktuelle tilfælde, Mandelbrotmængder, foretager
computeren bestemt afrundinger, og en cykel kan derfor være »falsk«.

Nu laver du generaliseringer. :-) Hvis du har c=a+ib, hvor a og b er
rationelle og starter din iteration ved z_0 = 0, så vil alle tallene i
følgen have rationelle realdele og imaginærdele. Det er derfor muligt
at beregne disse tal eksakt og derfor opdage cykler. Man kommer dog
godt nok til at skulle bruge en god bid plads til at repræsentere
tallene efter et par tusind iterationer. :-)

Post by Jeppe Stig Nielsen
Men når man laver følger af hele tal, har du helt klart ret.

Ikke kun hele tal, men enhver form for tal der kan repræsenteres på en
sådan måde at spørgsmålet x=y er afgørligt. Det kræver selvfølgelig
at talrummet er lukket under de operationer, der laves på tallene.

Hvis man holder sig til de fire regnearter, gælder det som nævnt
bl.a. rationelle tal og komplekse tal med rationelle real- og
imaginærdele, men også f.eks. for tal med periodiske kædebrøker.

Post by Jeppe Stig Nielsen
Et interessant eksempel: Lad f: N\{1} -> N være funktionen der er
fastlagt ved at f(n) er summen af alle divisorer i n undtagen n selv.
Så er et tal P fuldkomment, netop hvis f(P)=P, et fikspunkt.
Det er interessant at start med et tal n, og se om iterationsfølgen
n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...
er endelig eller uendelig. Hvis den er uendelig, kan den være periodisk,
men man har ikke vished for om den kan være uendelig uden at være peri-
odisk.
Det er klart at følgen går mod plus uendelig hvis den ikke er periodisk
eller endelig.

Et andet kendt eksempel er Collatzfølger, dvs. n, f(n), f(f(n)),..., hvor

f(n) = if even(n) then n/2 else 3*n+1

For alle starttal man har prøvet (og det er mange) vil følgen på et
tidspunkt nå perioden 1, 4, 2, 1,..., men dette er ikke bevist (eller
modbevist) undtagen for tal af en bestemt form (f.eks. potenser af 2).
Der er udsat en præmie for bevis/modbevis.

Torben

[Jeppe Stig Nielsen]

Post by Torben Ægidius Mogensen
Hvis man holder sig til de fire regnearter, gælder det som nævnt
bl.a. rationelle tal og komplekse tal med rationelle real- og
imaginærdele, men også f.eks. for tal med periodiske kædebrøker.

Tallene sqrt(2) og sqrt(3) har som bekendt periodiske kædebrøker, man
hvis man bruger den første af de fire regningsarter man kommer på (det
er addition!), på dem, får man vist ikke et tal med periodisk kædebrøk.

Men i øvrigt er jeg helt enig i din tankegang.

[Martin Larsen]

Post by Jeppe Stig Nielsen
Et interessant eksempel: Lad f: N\{1} -> N være funktionen der er
fastlagt ved at f(n) er summen af alle divisorer i n undtagen n selv.
n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...
er endelig eller uendelig. Hvis den er uendelig, kan den være periodisk,
men man har ikke vished for om den kan være uendelig uden at være peri-
odisk.

Har du exempel på et n, hvor følgen er uendelig og uperiodisk?

Mvh
Martin

[Martin Larsen]

Post by Martin Larsen
Har du exempel på et n, hvor følgen er uendelig og uperiodisk?

Jeg skulle have sagt, et n man mistænker.

Mvh
Martin

[Jeppe Stig Nielsen]

Post by Martin Larsen

Post by Martin Larsen
Har du exempel på et n, hvor følgen er uendelig og uperiodisk?

Jeg skulle have sagt, et n man mistænker.

De første værdier for hvilke man ikke er sikker på om følgen går mod
uendelig, er 276, 552, 564, 660 og 966.

[Carsten Svaneborg]

Post by Jeppe Stig Nielsen
Det er interessant at start med et tal n, og se om iterationsfølgen
n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...
er endelig eller uendelig. Hvis den er uendelig, kan den være
periodisk, men man har ikke vished for om den kan være uendelig
uden at være periodisk.

Burde Lyapunov eksponenten ikke give dig et godt estimat?
Er den <0 er den periodisk/fixpunkt mens >0 er kaotisk.

[Henrik Christian Grove]

Post by Jeppe Stig Nielsen

Post by Henrik Christian Grove

Post by Torben Ægidius Mogensen

Post by Henning Makholm
Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
af iterationen for forskellige c.

Hvor resultatet er antallet af iterationer før |z| > 2. Da det kan
være uendeligt, sættes i reglen en grænse for antallet af iterationer.

Det er bare de billeder man sædvanligvis laver. Strengt matematisk er
Mandelbrotmængden randen af den mængde af c'er for hvilke Juliamængden
for det tilsvarende c er sammenhængende.

Men er det ikke ækvivalent med at den nævnte iterationsfølge er be-
grænset (og faktisk holder sig inden for cirklen med radius 2)?

Jo, men Torben begyndte selv at skelne mellem Juliamængder og en
beskrivelse af hvordan man sædvanligvis laver billeder af dem.

.Henrik

[Mathness]

Post by Anders
Er der evt. nogle der har noget gratis litteratur eller indformation om
emnet?

Hvis du er heldig så har dit lokale bibliotek bøger skrevet af
Mandelbrot og bøger udgivet af "Springer" (kan ikke lige huske det
eksakte navn) forlaget, disse kræver dog et hvis niveau i matematik.

Generelt set så jo nyere bøgerne er omkring emnet, des mere
filosofiske bliver de. Personligt holder jeg mig mest til dem før
90'erne.

Der blev, på dansk, udgivet nogle hæfter til matematisk undervisning
på gymnasiet, hvor de mest simple fraktaler og kaos modeler blev
gennemgået. Og herunder hvordan de kunne laves som programmer.

En søgning på nettet burde give et hav af informationer omkring emnet,
der er også nogle usenet grupper.

[Martin Larsen]

Post by Mathness

Post by Anders
Er der evt. nogle der har noget gratis litteratur eller indformation om
emnet?

Hvis du er heldig så har dit lokale bibliotek bøger skrevet af
Mandelbrot og bøger udgivet af "Springer" (kan ikke lige huske det

Peitgen og Richter's bog?

Post by Mathness
Generelt set så jo nyere bøgerne er omkring emnet, des mere
filosofiske bliver de.

Hvad er det for noget filosofi?

Mvh
Martin

[Jeppe Stig Nielsen]

Post by Martin Larsen

Post by Mathness
Generelt set så jo nyere bøgerne er omkring emnet, des mere
filosofiske bliver de.

Hvad er det for noget filosofi?

Lomme-.

[Mathness]

Post by Martin Larsen
Peitgen og Richter's bog?

Ja, det lyder som den. Kan efterhånden kun huske de bøger på hvordan
de ser ud ;p

[Herluf Holdt, 3140]

Post by Mathness

Post by Martin Larsen
Peitgen og Richter's bog?

Ja, det lyder som den. Kan efterhånden kun huske de bøger på
hvordan de ser ud ;p

"The Beauty of Fractals"
H.-O. Peitgen - P.H. Richter, Springer-Verlag, 1986

Flot bog!
--
Med venlig hilsen Herluf Holdt

[Anders]

Ja, hvad kan jeg siger mere end tak :) Jeg fik i hvert fald besvart mine
spørgsmål :)

Post by Anders
Er der nogle der har forstand på fraktaler?
Så vidt jeg kan se kan man plotte iterationsfunktionen (f(z)=z^2+c) i den
komplekse plan både ud fra Julia og Mandelbrot?? Men hvad er forskellen på
Julia og Mandelbrot, eftersom udseendet af de to fraktaler komme til at se
forkellig ud når de bruger samme iterationsformel?? Tag jer ikke af hvis jeg
er helt glat på den??
Er der evt. nogle der har noget gratis litteratur eller indformation om
emnet?
tak :)

[Bjarke Walling Petersen]

Post by Anders
Ja, hvad kan jeg siger mere end tak :) Jeg fik i hvert fald besvart mine
spørgsmål :)

Hvis du er interesseret, kan du også læse min større skriftlige opgave jeg
skrev i 3.g i matematik om netop det emne. Den hedder "Iterative systemer i
den komplekse plan - Julia-mængder og Mandelbrot-mængden".

Den kan hentes her (samt vedlagt software): http://bwp.dk/download/sso/
Hvis du downloader det program jeg har lavet, foreslår jeg at du blot
downloader selve programmet og ser om det kan køre - hvis det ikke kan,
bliver du nok nød til at hente installationen (Som jeg kalder for "Hele
CD-ROM'en"). I det program kan man se sammenhængen mellem Mandelbrot-mængden
og Julia-mængder rent grafisk - det er faktisk ret sjov at sidde og lege
med.

Mvh. Bjarke