Antal "støttepunkter" til et polynomie

[Poul C]

Hej gruppe

Har jeg ikke ret i flg.:

En 1.grads polynomie (=ret linie) fastlægges entydigt udfra 2 punkter
En 2.grads polynomie (=en parabel) fastlægges entydigt udfra 3 punkter
.
En n'te grads polynomie fastlægges entydigt udfra n+1 punkter

??

Omvendt kan man vel også entydigt fastlægge koeficienterne til et n'te grads
polynomie, hvis man har koordinaterne til de n+1 punkter!
Findes der en generel metode hertil? (gerne et link)

Mvh
Poul C





----Begrundelse for spørgsmålet ---------------

Hvert år efter skriftlig examen i færdighedsregning (folkeskolen)
er der ofte - når der har været en opgave af formen:

Find det næste tal i talfølgen: 25, 36, 49, _______

- altid en masse forslag der går på at svaret ikke nødvendigvis behøver at
være 64!

Fordi man f.eks benytter et 4. el. 5. grads polynomium til beregningen!
Men så kan man jo få alle tal til at passe, f.eks: 25,36,49, 57 (tilfældigt
valgt)

Min argumentation går på at 3 tal kun "giver lov til" at man højest anvender
et 2. grads polynomie, hvis løsningen skal være entydig.
(Og uendelig mange rigtige "løsninger" synes jeg ikke er acceptabelt, og
heller ikke interresant, idet opgaven jo mister sin værdi)

[Mikkel Lund]

Post by Poul C
Hej gruppe
En 1.grads polynomie (=ret linie) fastlægges entydigt udfra 2 punkter
En 2.grads polynomie (=en parabel) fastlægges entydigt udfra 3 punkter
.
En n'te grads polynomie fastlægges entydigt udfra n+1 punkter
??
Omvendt kan man vel også entydigt fastlægge koeficienterne til et n'te grads
polynomie, hvis man har koordinaterne til de n+1 punkter!
Findes der en generel metode hertil? (gerne et link)
Mvh
Poul C
----Begrundelse for spørgsmålet ---------------
Hvert år efter skriftlig examen i færdighedsregning (folkeskolen)
Find det næste tal i talfølgen: 25, 36, 49, _______
- altid en masse forslag der går på at svaret ikke nødvendigvis behøver at
være 64!
Fordi man f.eks benytter et 4. el. 5. grads polynomium til beregningen!
Men så kan man jo få alle tal til at passe, f.eks: 25,36,49, 57 (tilfældigt
valgt)
Min argumentation går på at 3 tal kun "giver lov til" at man højest anvender
et 2. grads polynomie, hvis løsningen skal være entydig.
(Og uendelig mange rigtige "løsninger" synes jeg ikke er acceptabelt, og
heller ikke interresant, idet opgaven jo mister sin værdi)

prøv at bevise det med et induktionsbevis

[Jens Axel Søgaard]

Hej Poul,

Post by Poul C
En 1.grads polynomie (=ret linie) fastlægges entydigt udfra 2 punkter
En 2.grads polynomie (=en parabel) fastlægges entydigt udfra 3 punkter
.
En n'te grads polynomie fastlægges entydigt udfra n+1 punkter
??
Omvendt kan man vel også entydigt fastlægge koeficienterne til et n'te grads
polynomie, hvis man har koordinaterne til de n+1 punkter!

Jeg er lidt i tvivl om, hvad du mener med omvendt her. Jeg læste
første afsnit, som

"Givet to punkter med forskellige x-koordinater, findes der
præcis et førstegradspolynomium, hvis graf går gennem
de to punkter."

Og generaliseringen som:

"Givet n+1 punkter med forskellige x-koordinater, findes der
præcis et n'te-grads-polynomium, hvis graf går gennem
de n+1 punkter."

Post by Poul C
Findes der en generel metode hertil? (gerne et link)

Lagranges interpolationsformel udtrykker polynomiet ved
punkters koordinater.

<http://mathworld.wolfram.com/LagrangeInterpolatingPolynomial.html>

Post by Poul C
----Begrundelse for spørgsmålet ---------------
Hvert år efter skriftlig examen i færdighedsregning (folkeskolen)
Find det næste tal i talfølgen: 25, 36, 49, _______
- altid en masse forslag der går på at svaret ikke nødvendigvis behøver at
være 64!

Jeg synes ikke den type opgaver egner sig godt til eksamensbrug.

Man kan slå disse talserier op i The On-Line Encyclopedia of Integer
Sequences. En søgning på: 25, 26, 49 giver disse muligheder for
det næste tal: 121, 125, 4, 35, 77, 55, 66, 77.

For eksempel begrundes 55 med:

De sammensatte tal, hvor den mindste primfaktor er fem eller større:

25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, ...

Hvis den type opgaver skal give mening, bør man kræve en
begrundelse. Eller også skal eleverne på forhånd vide, hvilke
typer talrækker, der er tale om.

Post by Poul C
(Og uendelig mange rigtige "løsninger" synes jeg ikke er acceptabelt, og
heller ikke interresant, idet opgaven jo mister sin værdi)

Enig.

[Bertel Lund Hansen]

Post by Poul C
En n'te grads polynomie fastlægges entydigt udfra n+1 punkter

Jo. Rent algebraisk skal der n ligninger til n ubekendte hvis de
skal kunne løses entydigt, og et polynomium af n'te grad har n+1
koefficienter.

Post by Poul C
Find det næste tal i talfølgen: 25, 36, 49, _______
- altid en masse forslag der går på at svaret ikke nødvendigvis behøver at
være 64!

Man kan konstruere mange systemer til beregning af den slags tal,
både fair og unfair løsninger. En af de sidste går ud på at man
for hver tre tal skal lægge 100 til:

25, 36, 49, 125, 136, 149, 225, 236, 249 ...

En der ikke er unfair, siger at forskellen mellem to
naboforskelle skal fordobles hver gang. Det giver:

25, 36, 49, 66, 91, 132 ...

Post by Poul C
Min argumentation går på at 3 tal kun "giver lov til" at man højest anvender
et 2. grads polynomie, hvis løsningen skal være entydig.

Jeg synes det er svært at opstille regler for den slags talrækker
der udelukker kreative løsninger uden at begrænse mulighederne
til så få områder at det bliver let.