basisvektor?

[Paminu]

Hvis vektoren v går fra (0,0) (0,1) siges den at være 2. aksens basisvektor.
Men jeg går udfra at en basisvektor kan findes til en vilkårlig vektor og
blot er defineret ved at være sammenfaldende med denne vilkårlige vektor. Er
dette korrekt og findes der en mere præcis definition på en basisvektor?

[Jes Hansen]

Post by Paminu
Hvis vektoren v går fra (0,0) (0,1) siges den at være 2. aksens
basisvektor. Men jeg går udfra at en basisvektor kan findes til en
vilkårlig vektor og blot er defineret ved at være sammenfaldende med denne
vilkårlige vektor. Er dette korrekt og findes der en mere præcis
definition på en basisvektor?

Ja, din idé er rigtig nok. Normalt kalder man det ikke basisvektor men
enhedsvektor, da den har enhedslængde.

Hvis du har en vilkårlig vektor v kan du finde en enhedsvektor der peger i
samme retning ved at tage længden af vektoren ||v||, og så se på vektoren
v/||v||, altså den vektor der kommer frem ved at tage den originale vektor
og så dividere hver komponent med den samlede længde af vektoren. For en
vektor i planen v=(v1,v2) er længden givet ved ||v||=sqrt(v1^2+v2^2).

Dette virker også for vektorer i rummet, der er bare tre komponenter i
stedet for to.

[Stefan Holm]

Post by Jes Hansen
Hvis du har en vilkårlig vektor v kan du finde en enhedsvektor der peger i
samme retning

Hvilken retning peger nul-vektoren i? (Undskyld.)

[Glenn Møller-Holst]

Post by Stefan Holm

Post by Jes Hansen
Hvis du har en vilkårlig vektor v kan du finde en enhedsvektor der peger i
samme retning

Hvilken retning peger nul-vektoren i? (Undskyld.)

Hej Stefan

Det er et godt spørgsmål. Den er defineret til ikke at have en retning.

The zero vector:
http://www.maths.usyd.edu.au/u/MOW/vectors/vectors-1/v-1-4.html
Citat: "...The zero vector does not have a direction but it does have a
length; not surprisingly, its length is 0..."

http://www.maths.usyd.edu.au/u/MOW/vectors/misc/glossary.html#Z
Citat: "...The vector whose magnitude (that is, length) is equal to 0 is
called the zero vector. There is no direction associated with the zero
vector. This is the only exception to the statement that a vector has
both magnitude and direction..."

http://mathworld.wolfram.com/ZeroVector.html

Vectors. The Basics:
http://tutorial.math.lamar.edu/AllBrowsers/2414/Vectors_Basics.asp

Lidt diskussion:

Zero Vector. Where does it point?:
http://www.physicsforums.com/archive/t-78856_Zero_Vector.html

Lidt om enhedsvektorer:
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_%28spatial%29#Unit_vector

mvh/Glenn

[Glenn Møller-Holst]

Post by Jes Hansen

Post by Paminu
Hvis vektoren v går fra (0,0) (0,1) siges den at være 2. aksens
basisvektor. Men jeg går udfra at en basisvektor kan findes til en
vilkårlig vektor og blot er defineret ved at være sammenfaldende med denne
vilkårlige vektor. Er dette korrekt og findes der en mere præcis
definition på en basisvektor?

Ja, din idé er rigtig nok. Normalt kalder man det ikke basisvektor men
enhedsvektor, da den har enhedslængde.

Hej Jes

Hvis den er basisvektor for dig, ér den en basisvektor. Herudover er den
"tilfældigvis" også en enhedsvektor.

mvh

Glenn

[Jens Axel Søgaard]

Post by Paminu
Hvis vektoren v går fra (0,0) (0,1) siges den at være 2. aksens basisvektor.
Men jeg går udfra at en basisvektor kan findes til en vilkårlig vektor og
blot er defineret ved at være sammenfaldende med denne vilkårlige vektor. Er
dette korrekt og findes der en mere præcis definition på en basisvektor?

2 2
To vektorer v og w i R siges at udgøre en basis for vektorummet R,
hvis de udspænder det. Det vil sige, at en vilkårlig vektor s kan
skrives som en linearkombination af v og w:

a*v + b*w = s,

hvor a og b i R.

2
De to vektorer (1,0) og (0,1) udspænder R for en vilkårlig
vektor (x,y) kan skrives:

x*(1,0) + y*(0,1) = (x,y)

[Lars Hansen]

I det 2-dimensionale koordinatsystem er der 2 basisvektorer (fordi der kun
skal 2 koordinater til at beskrive alle punkter i det 2-dimensionale rum)

I det 3-dimensionale koordinatsystem er der 3 basisvektorer fordi der kun
skal 3 koordinater til at beskrive alle punkter i det 3-dimensionale rum.

Og generelt så er der n basisvektorer i det n-dimensionale rum.

Når du har et sæt af basisvektorer som udspænder et eller andet rum, så står
disse basisvektorer vinkelret på hinanden. F.eks. så står (0,1) og (1,0)
vinkelret på hinanden...

Grunden til at basisvektorer er dejlige er f.eks. følgende:

Hvis du har 200 2-dimensionale vektorer og lægger dem sammen som en vægtet
sum (linearkombination) så er det jo ret omstændigt. Umiddelbart kan du jo
hurtigt regne ud at der kun skal 2 vektorer til da der er tale om
2-dimensionale vektorer....men hvad nu hvis de 200 vektorer generelt ser
sådan her ud (0, tilfældigt tal) ....så vil en udregning af basisvektorerne
for sættet af 200 vektorer afsløre at dit sæt af 200 vektorer blot er 200
forskellige skaleringer af samme basisvektor. Det er jo let nok at se i
dette eksempel,...men forestil dig at der er tale om 200 10-dimensionale
vektorer...så kan du ikke lige umiddelbart se om disse 200 10-dimensionale
vektorer udspænder et underrum (altså et rum med en lavere dimension end
10).

Der er sikkert mere man kunne sige, men her stopper jeg...



----------

Post by Paminu
Hvis vektoren v går fra (0,0) (0,1) siges den at være 2. aksens
basisvektor. Men jeg går udfra at en basisvektor kan findes til en
vilkårlig vektor og blot er defineret ved at være sammenfaldende med denne
vilkårlige vektor. Er dette korrekt og findes der en mere præcis
definition på en basisvektor?

[Jacob Jensen]

Post by Lars Hansen
Når du har et sæt af basisvektorer som udspænder et eller andet rum, så
står disse basisvektorer vinkelret på hinanden. F.eks. så står (0,1) og
(1,0) vinkelret på hinanden...

Har jeg misforstået noget her? Basisvektorer behøver da ikke stå vinkelret.
De skal blot udspænde rummet og ingen ægte delmængde af dem må udspænde
rummet. En anden ting er at det er rart for os mennesker hvis de er
vinkelrette :)

Jacob

[Peter Makholm]

Post by Jacob Jensen

Post by Lars Hansen
Når du har et sæt af basisvektorer som udspænder et eller andet rum, så
står disse basisvektorer vinkelret på hinanden. F.eks. så står (0,1) og
(1,0) vinkelret på hinanden...

Har jeg misforstået noget her? Basisvektorer behøver da ikke stå vinkelret.
De skal blot udspænde rummet og ingen ægte delmængde af dem må udspænde
rummet. En anden ting er at det er rart for os mennesker hvis de er
vinkelrette :)

Nej, du har ikke misforstået noget. Det er Lars der skriver noget
forkert. (I hvert fald efter de definitioner jeg har lært).

[Lars Hansen]

Post by Peter Makholm
Nej, du har ikke misforstået noget. Det er Lars der skriver noget
forkert. (I hvert fald efter de definitioner jeg har lært).

Ja...de skal blot være lineært uafhængige...

[Lars Hansen]

eller skal de? nu bliver jeg sku' helt i tvivl...

-

Post by Lars Hansen
Ja...de skal blot være lineært uafhængige...

[Jens Axel Søgaard]

Post by Lars Hansen

Post by Lars Hansen
Ja...de skal blot være lineært uafhængige...

eller skal de? nu bliver jeg sku' helt i tvivl...

De skal både udspænde vektorrummet og være uafhængige.

[Stefan Holm]

Post by Jacob Jensen
Har jeg misforstået noget her? Basisvektorer behøver da ikke stå vinkelret.

Det kommer meget an på hvilken definition på "at stå vinkelret" du
benytter. Hvis du tager udgangspunkt i prikprodukt efter koordinater
baseret på din basis (hvilket virker nogenlunde naturligt) vil
basisvektorerne pr. definition stå vinkelret.

[Henning Makholm]

Post by Stefan Holm

Post by Jacob Jensen
Har jeg misforstået noget her? Basisvektorer behøver da ikke stå vinkelret.

Det kommer meget an på hvilken definition på "at stå vinkelret" du
benytter. Hvis du tager udgangspunkt i prikprodukt efter koordinater
baseret på din basis (hvilket virker nogenlunde naturligt) vil
basisvektorerne pr. definition stå vinkelret.

Jo, men det er usædvanligt at give sig til at definere et prikprodukt
på grundlag af en eller anden tilfældig basis.

Det er meget mere almindeligt at *starte* med at have et indre produkt
og så i visse situtationer specificere at man konsturerer sig en basis
der er ortonormal i forhold til det givne indre produkt.